Широтные измерения                            
 
  Один из основных методов определения широты местоположения в античности основан на применении солнечных часов (гномона).  
В “Альмогесте” Птолемей детально рассматривает вопрос “отношения гномона к полуденным теням в моменты равноденствий и солнцеворотов”. На рисунке показан гномон MN и отбрасываемые им тени в полдень в дни летнего солнцестояния MA, равноденствия MB и зимнего солнцестояния MC.  
 
 
Угол MNB, образованный тенью при равноденствии, равен широте места установки гномона. Угол ANB равен углу BNC и оба они равны углу наклона плоскости эклиптики к экватору, значение которого по Птолемею 23°51’20”. Кстати, это значение на самом деле получено Эратосфеном, согласно которому оно равно 11/83 от 1800.  
    Таким образом, что бы определить широту места необходимо при известной длине гномона измерить величину тени в один из указанных моментов, вычислить угол треугольника при вершине гномона N и, для случаев зимнего и летнего солнцестояний прибавить или отнять угол эклиптики. До наступления эры калькуляторов, мы нашли бы отношение катетов прямоугольного треугольника, взяли бы таблицы тригонометрических функций и по значению тангенса определили нужный нам угол. В античные времена не было тригонометрических таблиц, да и сами тригонометрические функции еще не придумали. Как сказано выше, только в IXвеке арабский ученый аль-Хорезми составил таблицу синусов. Как же решал задачу Птолемей? 
 
Таблица хорд
 
  Птолемей создал специальные таблицы дуг окружности и соответствующих им хорд. Эти таблицы дают возможность решать многие тригонометрические задачи, как на плоскости, так и на сфере.  Приняв диаметр круга равным 120 условных единиц, он рассчитал длины хорд в частях такого диаметра для дуг окружности с шагом 0.5 градуса. 
 

Ниже приведен фрагмент таблицы.

   

Дуга (градусы)

Хорда (60-ричные ед)

Изменение на 1’ угла

121/2
13

131/2

13; 3, 50

13354

14616

0;1, 2, 27
1 2 25
1 2 23

14

141/2
15

1437 27

158 38
15 39 47

1 2 21
1 2 19
1 2 17

……………

……………

……………

З01/2
31

З11/2

3133 50

3248
32 34 22

10 35
10 31
10 27

32

321/2

33

334 35

3334 46

344 55

10 22
10 17
10 12

331/2

34

341/2

34351

3555
35 356

108
103
0 59 57

……………

………………

…………….

78V2

79

791/2

7555 29

7619 46
76 43 58

0 48 34
0 48 24
0 48 13

80

80V2
81

77 8 5
77 326
77 562

0 483
0 47 52
0 47 41

81V2

82

82V2

78 19 52

7843 38

797 18

0 47 31
0 47 20
0 479
 
В первом столбце указаны градусы дуг окружности с шагом ½ градуса. Во втором столбце указаны соответствующие этим дугам хорды в 60-тиричной системе, в виде целой части, линейных минут и линейных секунд.
Например, число 25;27,41 включает 25 - целых линейных градусов; 27 - линейных минут (1мин=1град/60); 41 – линейную секунду (1сек = 1мин/60).
  В третьем столбце приведены приращения длины хорды при изменении дуги на 1 минуту, которые используются при интерполировании.  Здесь цифры выражены в линейных минутах, секундах и миллисекундах. Птолемей пишет “При вычислениях мы вообще будем пользоваться шестидесятиричной системой вследствие неудобства обычных дробей”.
  По сути, данная таблица является таблицей значений 2*R*sin(alf/2) при различных значениях alf, при R=60 единиц.
  Рассмотрим последовательность решения задачи на примере треугольника MNB с тенью в период равноденствия. Проведем вокруг него описанную окружность, центр которой совпадет с серединой гипотенузы NB, как показано на рисунке. Гипотенуза будет диаметром окружности. 
 
Угол MNB = φ  равен половине угла дуги MB. Если по значению хорды MB определить угол дуги MB, то широта будет известна.
  Теорема Пифагора тогда была уже известна, корни квадратные из числа извлекать умели, поэтому вычислим гипотенузу NB=(NM2+MB2)1/2.
   Переведем длину тени MB в условные единицы для окружности с диаметром 120 единиц по формуле
                                    MB120 = MB*(120/NB).
Зная значение MB120, по таблице хорд найдем угол дуги MB = 2*φ, половина которого даст значение широты. 
Для 4 параллели своей карты, проходящей через Мероэ, Птолемей приводит значение широты 165/12 градуса, для гномона длиной 60 частей, равноденственная тень - 17 1/21/4, летняя - 71/21/4, зимняя - 51. Выполним вычисления.
Равноденственная тень:  NB=(602+17.752)1/2 = 62.57;
                     MB120 = 17.75*(120/62.57) =34.0419 ед = 34;02,31 уг.ед;
                     по таблице дуга MB= 32057’37”; широта = 32057’37”/2=16028’48”;
                     у Птолемея 165/12 =16025’.
Летняя тень:     NB=(602+7.752)1/2 = 60.498;
                     MB120 = 7.75*(120/60.498) = 15.3723ед = 15;22,20 уг.ед;
                     по таблице дуга MB= 14043’13”; угол = 14043’13”/2=7021’36”;                                                 эклиптика 7021’36” + 16028’48”= 23050’24”.
Зимняя тень:     NB=(602+512)1/2 = 78.746; 
                     MB120 = 51*(120/78.746) = 77.7182ед = 77;43,06 уг.ед;
                     по таблице дуга MB= 80043’47”; угол = 80043’47”/2=40021’54”;
                     эклиптика 40021’54” - 16028’48”= 23053’06”.
 
   Попытаемся определить точность определения широты. При определении значения угла используется вычисленная длина хорды Sx по формуле
                                         Sx=2*R*sin(Φ/2)
Птолемей принял значение диаметра окружность D=120 единиц (радиус R=60). Оценка точности не изменится, если принять значение диаметра D=1, т.е. практически все значения хорд во втором столбце таблицы Птолемея разделить на 120.
  В этом случае получим  Sx =sin(Φ/2) и, соответственно, φ=Φ/2 = arcsin(Sx).
 
  Тогда, 
                          Sx= St/(Sg2+St2)1/2 , где Sg – длина гномона;St - длина тени.
Откуда
                       φ= Φ/2 = arcsin(St/( Sg2+ St2)1/2).
 
Если не учитывать погрешность определения длины гномона Sg, а учитывать только погрешности определения длины тени, то среднюю квадратическую погрешность определения угла φ можно определить по формуле
                                     mφ = (mt* ρ’*cos2φ )/Sg,
где  mφ – ср. квадратическая погрешность широты; mt - ср. квадратическая погрешность измерения длины тени;  ρ’ = 3638’ – число минут в радиане. 
  Если принять высоту гномона Sg =2м, погрешность mt = 0.02 м, то для различных широт получим:
                            φ  = 200    mφ = 30’
                            φ  = 300    mφ = 26’
                            φ  = 400    mφ = 20’
                            φ = 500    mφ = 14’
                            φ = 600    mφ = 9’
  
  Средние квадратические погрешности определения широты лежат в пределах 9’ – 30’, в зависимости от местоположения. Кроме этого, отмечает Птолемей, точность измерений в период солнцестояний выше, чем в период равноденствия, т.к. “отношения отбрасываемых теней к гномону не могут быть определены с такой же точностью вследствие того, что время равноденствия не является само по себе определенным и вершины теней во время зимнего солнцеворота трудно различимы”.    
   Отметим также, что в “Альмогесте” Птолемей детально описывает конструкции двух инструментов для измерения зенитных углов Солнца.
Конструкции этих приборов мало отличаются от конструкции применявшегося до последнего времени многими геодезистами для грубого определения углов наклона местности эклиметра.
 
Эклиметр
 
Известно, что точность измерения углов эклиметром не превышает 0.20 или 12’. Примерно такую же точность могли обеспечить приборы Птолемея.
   Птолемей сообщает о выполненных измерениях значений эклиптики этими приборами: “Из подобных наблюдений и главным образом из тех, которые были сделаны нами во время солнцеворотов в течение многих лет … мы нашли, что дуга от самого северного до самого южного конца (а это будет дуга, заключающаяся между тропиками) всегда оказывалась равной 47 градусам с избытком, большим 2/3, но меньшим 3/4 градуса. Отсюда получается почти тоже отношение, что у Эратосфена, которым пользовался и Гиппарх. Действительно, величина дуги между тропиками составляет приблизительно 11 таких частей, каких в полуденном круге будет 83 ”. Таким образом, Птолемей говорит, что разброс многолетних наблюдений двойного угла эклиптики лежал в пределах 5’. Весьма странно, но современные астрономы указывают, что Птолемей ошибся на 9’, тогда угол эклиптики был равен 23°42’. Cейчас этот угол равен 23°27’.  
 
                  В оглавление        <- назад        вперед ->