Связь широты и продолжительности дня при солнцестоянии
В настоящее время для определения продолжительности дня при солнцестоянии предлагается формула
D=24 – (24/180)*arcos(tgφ*tg(arcsin(sinά*sinδ)))
Или, соответственно, для вычисления широты
φ = arctg(cos(180-D*7.5)/tg(arcsin(sinά*sinδ)))
где D – продолжительность дня; φ – широта места; ά – широта тропиков, сейчас 23027’; δ – угол, который Земля прошла с момента весеннего равноденствия, для момента летнего солнцестояния 900 .
Птолемей пользовался, конечно, другой формулой.
На рисунке небесной сферы ABГD – полуденный круг, BHED – линия небесного экватора, BHED – линия горизонта в точке местности. Точка H является точкой восхода Солнца в момент зимнего солнцестояния. Требуется найти дугу BZ, которая равна значению широты места наблюдений.
Время движения Солнца от H до полуденной линии (дуга QA) составит 1/2 дня, дуга QEГ соответствует половине ночи. Следовательно,” …дуга ЕQ, представляющая собой половину разности между продолжительностью наибольшего или наименьшего дня и продолжительностью равноденственного дня ”. Птолемей доказал несколько теорем, позволяющих решать задачи на сфере. Они основаны на применении разработанной им таблицы хорд и связывают определенными соотношениями хорды под удвоенными дугами на сфере. Например, доказано соотношение
QA2x/AE2x =(QZ2x /ZH2x)*(HB2x /BE2x),
Где под обозначением дуги с символом 2x подразумевается длина хорды под дугой вдвое большей указанной. В данном соотношении дуга AE = 900 , хорда под удвоенной дугой AE2x=120 единиц. Дуга QZ=900 , хорда QZ2x=120. Дуга BE=900 , хорда BE2x=120. Дуга QA=900 – QE, где QE=(MAXдень-12h)*150 /2 . Хорда QA2x берется из таблиц хорд. Дуга ZH=900 – 23051’20”, хорда из таблиц ZH2x= 109;44,53 частям. В указанном соотношении неизвестным является HB2x , которое равно
HB2x = QA2x*109;44,53/120.
Зная хорду HB2x , можно найти хорду BZ2x из соотношения
QE2x/QA2x =(HE2x /HB2x)*(BZ2x /ZA2x)
или
BZ2x = (QE2x* HB2x * 120)/( QA2x* HE2x),
где ZA2x=120ед (ZA= 900 ); (HE=900 - HB); HE2xберется из таблиц.
По значению хорды BZ2x из таблицы хорд выбирается значение угла, половина которого равна широте определяемой точки. Точности определения широты можно оценить по приведенным ниже соотношениям:
Продолжительность макс. дня Широта места
15h 25min 440 21.8’
15h 30min 450 00.2’
15h 35min 450 37.8’
15h 45min 460 45.2’
15h 50min 470 24.3’
15h 55min 470 57.9’
Как видно, 10 минутная ошибка в измерении продолжительности дня дает ошибку порядка 1 градуса в широте. Чем и с какой точностью измерялась продолжительность дня в античное время можно только догадываться. К тому же здесь не учитывается влияние земной рефракции, которая увеличивает видимую протяженность дня на величину порядка 5 минут и носит систематический характер. Похоже, что определять широту по продолжительности светового дня довольно сложно.