Опорные пункты для расчета координат
Первым этапом картографирования местности является создание опорной сети (первоосновы), включающей систему исходных пунктов с известными координатами, равномерно покрывающих территорию. Исходные пункты имеют более высокую точность, обеспечивают единство системы координат на территории картографирования, исключают накопление погрешностей, закрепляются на местности для обеспечения возможности последующего дополнения и корректировки картографических материалов, от этих пунктов выполняют вычисления координат остальных пунктов. Указанным общим правилам картографирования, актуальным в настоящее время, следовал и Птолемей.
Он установил исходные геодезические даты в виде земного сфероида с радиусом 5300 км, ось вращения которого совпадает с осью вращения Земли, и начального пункта в г.Александрия с широтой B=31000' и долготой L=60000'.
В 8 томе «Географии» Птолемей приводит перечень пунктов, принятых за первооснову при составлении каталога координат. Для каждого из 27 листов карты приводятся сведения о длине 10 средней параллели листа по отношению к длине 10 меридиана (экватора), перечень областей по границе листа, координаты наиболее известных городов. Сейчас это называется легендой карты. Для карты 8, например, это описание выглядит следующим образом:
«ЕВРОПЫ КАРТА VIII
1. Восьмая карта Европы заключает Европейскую Сарматию и Таврический Херсонес. Параллель, проходящая через ее середину, относится к меридиану, как 11 к 20.
2. Ограничивается эта карта с востока Боспором Киммерийским, Меотийским озером и рекой Танаисом, за которым Азиатская Сарматия; с юга — Понтийским морем, частью нижней Мисии, Дакией и областью язигов-метанастов [переселенцев]; с запада — так называемыми Сарматскими горами, Германией и рекой Вистулой, с севера — Венедским заливом Сарматского океана и еще не известной землей.
3. Из более известных городов Сарматии
1. Восьмая карта Европы заключает Европейскую Сарматию и Таврический Херсонес. Параллель, проходящая через ее середину, относится к меридиану, как 11 к 20.
2. Ограничивается эта карта с востока Боспором Киммерийским, Меотийским озером и рекой Танаисом, за которым Азиатская Сарматия; с юга — Понтийским морем, частью нижней Мисии, Дакией и областью язигов-метанастов [переселенцев]; с запада — так называемыми Сарматскими горами, Германией и рекой Вистулой, с севера — Венедским заливом Сарматского океана и еще не известной землей.
3. Из более известных городов Сарматии
Тамирака имеет самый длинный день в 16 равноденственных часов и отстоит от Александрии к западу на одну пятнадцатую часть равноденственного часа.
Навар имеет самый длинный день в 16 часов 15 минут и отстоит от Александрии к западу на одну восьмую часа.
Ольвия, или Борисфенида, самый длинный день имеет в 16 часов 5 минут и отстоит от Александрии к западу на 1/5 часа.
4. Из городов Таврического Херсонеса Феодосия имеет самый длинный день в 15 часов 50 минут и отстоит от Александрии к востоку на 1/5 часа.
Пантикапей самый длинный день имеет в 15 часов 55 минут и отстоит от Александрии к востоку на 1/4 часа ».
Обратим внимание на то, что в легенде карты координаты пунктов даны в протяженности самого длинного дня (широта) и отстоянии по долготе от долготы г.Александрии в часовой мере. Объяснить это можно, по-видимому, тем, что такое представление координат было более понятно рядовому пользователю карты, чем доступные только специалисту новые понятия широты и долготы. В основном каталоге координат Птолемея эти пункты первоосновы повторяются и для них даны уже значения широты и долготы в обычной градусной мере, как и для всех других пунктов.
Навар имеет самый длинный день в 16 часов 15 минут и отстоит от Александрии к западу на одну восьмую часа.
Ольвия, или Борисфенида, самый длинный день имеет в 16 часов 5 минут и отстоит от Александрии к западу на 1/5 часа.
4. Из городов Таврического Херсонеса Феодосия имеет самый длинный день в 15 часов 50 минут и отстоит от Александрии к востоку на 1/5 часа.
Пантикапей самый длинный день имеет в 15 часов 55 минут и отстоит от Александрии к востоку на 1/4 часа ».
Обратим внимание на то, что в легенде карты координаты пунктов даны в протяженности самого длинного дня (широта) и отстоянии по долготе от долготы г.Александрии в часовой мере. Объяснить это можно, по-видимому, тем, что такое представление координат было более понятно рядовому пользователю карты, чем доступные только специалисту новые понятия широты и долготы. В основном каталоге координат Птолемея эти пункты первоосновы повторяются и для них даны уже значения широты и долготы в обычной градусной мере, как и для всех других пунктов.
Интерес представляет приведение в легенде карты значение длины 10 средней параллели листа по отношению к длине 10 меридиана (экватора). Как масштаб оно служить не может. Для геодезиста понятно, что знание этой величины необходимо для решения прямой геодезической задачи по нахождению координат пункта (широты и долготы) по заданным расстоянию и азимуту линии, а так же для решения обратной геодезической задачи по определению расстояния между двумя точками по заданным их широте и долготе. Вполне возможно, что Птолемей предусматривал решение и таких задач по его карте.
Все указывает на то, что Птолемей в первую очередь получил координаты пунктов первоосновы, от которых вычислил координаты всех остальных пунктов. Как он это сделал?
Рассмотрим участок Черного и Азовского морей и прилегающих областей. На рисунке красными кружками показаны пункты первоосновы, использованные Птолемеем для данного участка. Пункт устье Борисфена в числе исходных Птолемеем не включен (оно и понятно, нет закрепления на местности), а добавлен мною из-за множества упоминаний его в различных античных источниках.
Из основных параллелей, описанных выше, которые Птолемей выносит на карты, на данный участок попадают 5 из 21 параллели с номерами 13, 14, 15, 16, 17. Если анализировать координаты приведенных пунктов, то на эти параллели Птолемеем помещены следующие пункты:
13 параллель, широта 43005’, проходит через Халкедон(Византий), Амисос, Трапезунд;
14 параллель, широта 45000’, проходит через Одесса, Фасис;
15 параллель, широта 48030’, проходит через устье Борисфена, Тимирака;
16 параллель, широта 51030’;
17 параллель, широта 54000’, проходит примерно через устье Танаиса.
Указанные параллели (климаты) упоминаются многими авторами, предшественниками Птолемея, и являются как бы краеугольным камнем античной географии.
Страбон, например, приводит следующие сведения:
13 параллель. В Византии самый длинный день содержит 15 ¼ часа(43001’), отношение указателя солнечных часов к тени 120 к 112 минус 1/5 (42058’), в 4900 (70) стадий от центра Родоса.
14 параллель. Если, войдя в Понт, проплыть к северу около 1400 (20) стадий, то самый длинный день окажется равен 15 ½ (45000’).
15 параллель. В областях приблизительно на 3800(5026') стадий севернее Византии день 16 часов(48031’). Это область около Борисфена и южные части Меотиды .
17 параллель. В областях, отстоящих от Византия на 6300 (90) стадий и расположенных севернее Меотиды самый длинный день 17 часов(54000’).
Указанные расстояния между пунктами даны Страбоном исходя из земной сферы Эратосфена, где 10 меридиана равен 700 стадиям. Следует отметить одно несоответствие для 17 параллели. По продолжительности самого длинного дня ее широта равна 54000’, а по расстоянию от Византии - 52000’, что более соответствует действительной разности широт (7020’) между Византией и устьем Танаиса.
Птолемей, как видно, воспользовался широтами, приведенными его предшественниками, как минимум для пунктов Византия (Халкедон) и устье Борисфена. Это подтверждается еще тем, что Страбон несколько раз указывает на расположение Византии и Массалия (Марселя) на одной параллели. У Птолемея также эти два пункта имеют одинаковую широту 43005’. Сразу скажем, предшественники внесли в данные Птолемея на данном участке ошибку порядка 20 широты.
Что касается долготы, то по данным Страбона " С другой стороны, все согласны, что морской путь от Александрии до Родоса идет по прямой линии одинаково с течением Нила, как и путь отсюда вдоль берегов Карии и Ионии до Троады, Византия и Борисфен ". Из данного текста следует, что Александрия, Родос, Троя, Византия и устье Борисфена лежат примерно на одном меридиане, более точно Страбон сказать не может.
У Птолемея долготы Византии(56000') и устья Борисфена(57030') не совпадают, отличны они и от других указанных пунктов. Сейчас трудно сказать, почему у этих пунктов выбраны такие долготы. Видимо они получены из предыдущих последовательных расчетов от Родоса, через Геллеспонт (Дарданелы) и Пропонтиду (Мраморное море) к Босфору. Можно отметить, что одинаковые долготы у Птолемея имеют пункты Апполоний и Одесса(54050’), Амисос и Гермонасса(65000’), Инантия и Тирамба (69040').
Для расчета координат пунктов необходимо знать азимуты и длины линий соединяющих их. Длины линий были получены из описаний путешественников. Описания выглядели, на примере перипла Понта Евксинского Клавдия Арриана, примерно так:
“От Синопа до Каруса , сто пятьдесят стадий; здесь якорное место для судов.
Оттуда до Загора, другие сто пятьдесят стадий.
Отсюда до реки Алис, триста стадий. Эта река, когда то была границею владений Креза и Персов, а ныне она протекает Римские владения, но не с юга, как говорит Геродот, а от востока и при устье, разделяет владения Синопян от владений Амисян.
От Алиса до Навстафма, где находится озеро, девяноста стадий.
Оттуда до Конопиона другого озера, пятьдесят стадий.
От Конопиона до Евсини, сто двадцать стадий.
Оттуда до Амисоса, сто шестьдесят стадий. Амисос Эллинский город, приморское поселение Афинян ” .
Никаких азимутов в периплах практически не указывалось.
Перед Птолемеем стояла сложная задача по заданию азимутов между опорными пунктами и введение в исходные расстояния поправок за кривизну и извилистость трассы сухопутного или морского путешествия. Единственное, чем он мог воспользоваться для решения этих задач, так это более ранние карты или текстовые описания местности. Например, Страбон так описывает форму Черного моря: “Вдоль Херсонеса лежит пролив шириной в 7 стадий, около Сеста и Абидоса; через него Эгейское море и Геллеспонт вытекает на север в другое море, которое называется Пропонтидой. Она же в свою очередь течет в другое море, прозванное Евксинским Понтом. Последнее состоит как бы из двух морей; ибо приблизительно посередине его выдвигаются два мыса: один от Европы и с северных стран, а другой напротив его Азии, которые суживают проход в середине и образуют два больших моря. Европейский мыс называется Криуметопом, а азиатский - Карамбисом; они отстоят друг от друга приблизительно на 2550 стадий. Западное море имеет в длину от Византии до устья Борисфена 3800 стадий, а в ширину 2800 стадий; в этом море лежит остров Левка. Восточное море, продолговатое по форме, оканчивается в узкой впадине у Диоскуриады, имея в длину 5000 стадий или немного более, ширина же его около 3000 стадий. Окружность всего моря составляет приблизительно 25000 стадий. Некоторые сравнивают форму этой окружности с натянутым скифским луком, уподобляя тетиве так называемые правые части Понта (т. е. побережье от устья до впадины у Диоскуриады; ведь, кроме мыса Карамбис, весь остальной берег имеет только незначительные углубления и выступы, так что он похож на прямую линию). Остальную часть сравнивают с рогом лука с двойным изгибом; верхний изгиб более закругленный, нижний более прямой; таким образом, левый берег образует два залива, из которых западный значительно более закруглен, чем восточный “.
Скифский лук
Это описание уже дает какие-то сведения, на основе которых можно построить эскиз береговой линии моря и, имея расстояния между пунктами, примерно расположить их по его периметру.
Попытаться восстановить схему расчета координат основных пунктов Птолемеем. В основу положим анализ азимутов линий, соединяющих эти пункты. Если принять во внимание положение о том, что все вычисления выполнялись в тот период вручную, большие сложности возникали у помощников Птолемея с умножением и делением многоразрядных чисел друг на друга, то можно предположить, что для вычисления приращений координат использовались азимуты, позволяющие наиболее просто решить задачу.
В принципе, таблица хорд Птолемея позволяет выполнять вычисления приращений координат при любых углах. Но ее применение требует вычисления отношения расстояния между пунктами к условному диаметру 120, а за тем умножения полученного дробного коэффициента на хорды углов, противолежащих приращениям координат dX и dY.
Более просто использовать, например, азимуты, равные углам египетского треугольника: 36052' или 53008. В этом случае, катеты прямоугольного треугольника, равные приращениям координат по осям X и Y, вычисляются из соотношения 3-4-5, где 3 и 4 - длины катетов, 5-длина гипотенузы. Египетский треугольник является частным случаем множества героновых треугольников, у которых стороны и площади являются целыми числами. Похоже Птолемей использовал геронов треугольник с соотношением элементов (5, 12, 13). Этот прямоугольный треугольник хорош тем, что его углы 22037' и 67023 почти точно совпадают с промежуточными направлениями азимута между севером и северо - востоком, северо - востоком и востоком и т.д. Достаточно просто находятся катеты у прямоугольного треугольника с углами 300 и 600 . Один катет равен 1/2 гипотенузы, другой (1/2 + 1/3 + 1/30) гипотенузы. Для треугольника с углами 450 катеты равны (1/2 + 1/5 +1/150) гипотенузы. Естественно, наиболее простыми являются азимуты 00 и 900.
На рисунке приведена схема опорных пунктов (типа полигонометрического хода) с выписанными значениями азимутов сторон и длинами линий в стадиях. Красным цветом на основных параллелях приведена длина 10 долготы в стадиях.
Для получения значений азимутов и расстояний между пунктами каталог географических координат Птолемея на данный участок был переведен в систему прямоугольных координат в проекции Гаусса - Крюгера с осевым меридианом 570 (район устья Борисфена) на земном сфероиде радиуса 5300 км. При значительных удалениях от осевого меридиана в вычисленные расстояния вводились поправки. На схеме приведены значения истинных азимутов.
На приведенной схеме все азимуты, за исключением двух (Гераклея - Синоп и Гермонасса - Инантия), имеют значения углов из стандартных треугольников. На основании анализа азимутов можно предположить, что начальной точкой для расчета служил пункт Халкедон. От него расчеты велись отдельно в западном и восточном направлениям по периметру Черного моря до пунктов Гермонасса и Инантия, соответственно. Отстоящие от моря пункты вычислялись "висячим" ходом от пунктов основного хода. Вычисления выполнялись с округлением широты и долготы каждой точки с шагом 5 минут. Ниже приведена ведомость расчета координат.
|
Наименование пункта |
Азимут |
Расстояние (стадии) |
Приращения координат |
Координаты |
||
|
Δφ |
Δ λ |
Φ |
λ |
|||
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
|
Халкедон |
43005' |
56005' |
||||
|
(треуг. 3-4-5) |
36052'СЗ |
770 |
616/500=1014' |
-462/365= 1016' |
||
|
Апполоний |
44019' (44020') |
54049' (54050') |
||||
|
334 |
334/500=0040' |
0 |
||||
|
Одесса |
45000' (45000') |
54050' (54050') |
||||
|
1974 |
3030'*500= 1750(исх.) |
913/((354 + 332) /2) = 2040' |
||||
|
устье Борисфена |
48030'(широта фикс.) |
57030' (57030') |
||||
|
608 |
0 |
608/332= 1050' |
||||
|
Тамирака |
48030' (48030') |
59020' (59020') |
||||
|
(треуг. 5-12-13) |
67023'ЮВ |
1464 |
-563/500= -1008' |
1351/332= 4004' |
||
|
Феодосия |
47022' (47020') |
63024' (63020') |
||||
|
(треуг. 3-4-5) |
36052'СВ |
369 |
295/500=0035' |
221/332 = 0040' |
||
|
Пантикапея |
47057' (47055') |
64002' (64000') |
||||
|
60000'ЮВ |
396 |
-198/500= 0024' |
343/332 = 1002' |
|||
|
Гермонасса |
47031' (47030') |
65002' (65000') |
||||
|
------------------ |
----------- |
------ |
------------ |
----------- |
---------- |
--------- |
|
Халкедон |
43005' |
56005' |
||||
|
60000'ЮВ |
595 |
-298/500= -0036' |
515/365 = 1025' |
|||
|
Никомедия |
42029' (42030') |
57030' (57030') |
||||
|
45000'CВ |
742 |
525/500=1003' |
525/365 = 1026' |
|||
|
Гераклея |
43033' (43030') |
58056' (59000') |
||||
|
82000'СВ |
1782 |
248/500=0030' |
1765/36 =4050' |
|||
|
Синоп |
44000' (44000') |
63050' (63050') |
||||
|
45000'ЮВ |
625 |
-442/500=-0053' |
442/365 =1012' |
|||
|
Амисос |
43007' (43005') |
65002' (65000') |
||||
|
90000'С |
2140 |
0 |
2140/365=5052' |
|||
|
Трапезунд |
43005' (43005') |
70052' (70050') |
||||
|
30000'СВ |
1135 |
983/500=1058' |
568/354=1036' |
|||
|
Фасис |
45003' (45000') |
72026' (72030') |
||||
|
30000'СЗ |
994 |
861/500=1043' |
-497/354=-1024' |
|||
|
Диоскуриада |
46043' (46045') |
71006' (71010') |
||||
|
(треуг. 5-12-13) |
67023'СЗ |
570 |
219/50 =0026' |
-526/354=-1029' |
||
|
Инантия |
47011' (47010') |
69037' (69040') |
||||
|
------------------ |
----------- |
------ |
------------ |
----------- |
---------- |
--------- |
|
устье Борисфена |
48030' |
57030' |
||||
|
(треуг. 3-4-5) |
36052'СЗ |
299 |
239/50 =0029' |
-179/332=-0032' |
||
|
Оливия |
48059' (49000') |
56058' (57000') |
||||
|
45000'СВ |
698 |
494/500=0059' |
494/332=1029' |
|||
|
Навар |
49059' (50000') |
58029' (58030') |
||||
|
------------------ |
----------- |
------ |
------------ |
----------- |
---------- |
--------- |
|
Инантия |
47010' |
69040' |
||||
|
0000'С |
1340 |
1340/500 =2041' |
0 |
|||
|
Тирамба |
49051' (49050') |
69040' (69040') |
||||
|
------------------ |
----------- |
------ |
------------ |
----------- |
---------- |
--------- |
|
Тамирака |
48030' |
59020' |
||||
|
(треуг. 3-4-5) |
36052'СЗ |
3897 |
3117/500= 6014' |
2338/((332+287)/2)= 7032' |
||
|
Танаис |
54044' (54040') |
66052' (67000') |
||||
|
(треуг. 20-99-101) |
11025'СЗ |
880 |
174/500=0021' |
863/287 =3000' |
||
|
Наварис |
55001' (55000') |
70000' (70000') |
||||
При вычислении приращений по широте (столбец 4) принято 10=500 стадий, при вычислении приращений по долготе (столбец 5) длина 10 принималась равной длине 10 ближайшей стандартной параллели. В столбцах 6 и7 в скобках даны широта и долгота из каталога Птолемея, без скобок - вычисленные значения.
Приращения координат по линии Одесса - устье Борисфена рассчитывались исходя из заданных значений широты пункта устье Борисфена в 48030' (15 параллель) и расстояния между пунктами.
Странный азимут имеет направление Гераклея - Синоп, равный 820, а также нет точного совпадения координат при вычислении пункта Гераклея от Никомедии. Возможно пункты Гераклея и Синоп считались по другой схеме, например, от пункта Халкидон по приращениям координат, полученным расчетным путем: длина пролива Босфор 150 стадий + 50 стадий смещения берега перед Гераклеей на север и т.д. Очень круглые значения имеют приращения по оси X: Халкидон - Гераклея -200 стадий; Гераклея - Синоп - 250 стадий.
Остальные расчеты подтверждают использование Птолемеем стандартных треугольников для вычисления приращений координат.
Среди опорных пунктов Птолемея значительная часть уверенно идентифицируются с современными объектами, главным образом, городами, что позволяет выполнить сравнение современных и античных координат. В таблице приведены результаты сравнения координат.
|
№ п/п |
Наименование пункта |
Данные Птолемея |
Современные данные |
Разность координат |
|||
|
φ |
λ |
B/ φ |
L/λ |
Δφ |
Δ λ |
||
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
|
1 |
Халкедон, Византия |
43005' |
56005' |
41000' (40049') |
29000' (59008') |
+2016' |
-3003' |
|
2 |
Гераклея (г.Эрегли) |
43030' |
59000' |
41017' (41006') |
31025' (61033') |
+2024' |
-2033' |
|
3 |
Синопа (г.Синоп) |
44000' |
63050' |
42002' (41051') |
35009' (65007') |
+2009' |
-1017' |
|
4 |
Амисос (г.Самсун) |
43005' |
65000' |
41017' (41006') |
36020' (66028') |
+1059' |
-1028' |
|
5 |
Трапезунд (г.Трабзон) |
43005' |
70050' |
41000' (40049') |
39043' (69051') |
+2016 |
+0059 |
|
6 |
Фасис (устье Риони) |
45000' |
72030' |
42008'(41057') |
41040' (71048') |
+3003' |
+0042' |
|
7 |
Диоскуриада (г.Сухуми) |
46045' |
71010' |
43000' (42049') |
41001' (71009') |
+3056' |
+0001' |
|
8 |
Инантия (г.Адлер) |
47 10 |
69 40 |
43025' (43013') |
39055' (70003') |
+3057 |
-0023 |
|
9 |
Пантикапея (г.Керчь) |
47015' |
64000' |
45021' (45009') |
36028' (66036') |
+2006' |
-2036' |
|
10 |
Феодосия |
47020' |
63020' |
45001' (44049') |
35023' (65031') |
+2031' |
-2011' |
|
11 |
Тамирака (c.Хорлы) |
48 30 |
59 20 |
46005' (45053') |
33017' (63025') |
+2037' |
-4005' |
|
12 |
Устье Борисфена (устье Днепра) |
48030' |
57030' |
46036' (46024') |
31031' (61039') |
+2006' |
-4009' |
|
13 |
Одиссос (г.Варна) |
45 00' |
54 50' |
43011' (42059') |
27055' (58003') |
+2001' |
-3013' |
|
14 |
Апполоний (г. Созополь) |
44020' |
54050' |
42025' (42014') |
27042' (57050') |
+2006' |
-3000' |
|
15 |
Танаис (устье Дона) |
54020' |
67000' |
47009' (46058') |
39021' (69029') |
+7022' |
-2029' |
В столбцах 3 и 4 даны координаты Птолемея, в столбцах 5 и 6 современные координаты, которые получены в программе "Google Планета Земля". Эта программа дает геодезические координаты пунктов B и L, рассчитанные от нормали к эллипсоиду WGS84 и от начального Гринвичского меридиана. В геодезические широты B были введены поправки для приведения к географической широте φ, от нормали к земной сфере, долготы L увеличены на 30008’ для приведения к началу счета долгот Птолемея. Последняя величина получена как разность долгот современной и Птолемея в г.Александрии. Указанные величины записаны столбцов 5 и 6 в скобках под B и L.
Разности географических координат в столбцах 7 и 8 показывают наличие систематических смещений по широте и долготе. Если исключить пункт Танаис, как имеющий грубую ошибку, средние значения разностей будут иметь значения: по широте - Δφср = +2032'; по долготе - Δλср = -1053'. При изменении широты и долготы пунктов Птолемея на средние значения разностей будет исключено систематическое смещений сети и по остаточным отклонениям, можно вычислить среднюю квадратическую погрешность положения ее пунктов по формулам:
Мшир = ((Δφ – Δφср)2 /N)1/2 и Мдолг = ((Δλ – Δλср)2 /N)1/2 ,
где Мшир и Мдолг - средние квадратические погрешности пунктов по широте и долготе;
ΔφиΔλ – разность широт и долгот Птолемея и современных; N – число пунктов.
В результате получатся значения:
Мшир = 38’ = 0.630 = 0.63*500 стадий = 317 стадий = 59 км.;
Мдолг = 97’ = 1.620 = 1.62*354 стадии = 572 стадии = 106 км.
Точность определения долготы почти вдвое меньше точности определения широты. Общая погрешность в положении опорного пункта составит 121км. При среднем расстоянии между пунктами в 970 стадий или 180 км погрешность составляет почти 70%.